Doğal Logaritma Tabanı Nereden Gelir?

Bu yazımda size doğal logaritma tabanının(yani e'nin) nereden geldiğini anlatacağım.

işe ilk başta e'yi hesaplamakta kullanacağımız seriyi tanımlayarak başlayacağım. 

f(x)=a_n(x-c)ⁿ

^{Şeklindeki seriye power seri denir.} Bu serinin a_k.terimi f^k(c)/k! ile hesaplanır.(f^k(c): fonksiyonun k. Dereceden türevinin c noktasındaki değeri).

Yani power serimiz:
f(x)= ((fⁿ(c)/n!)(x-c)ⁿ 
halini alır ki buna da Taylor serisi denir. c=0 özel durumuna da Maclaurin serisi denir.(şu konuda uyarmalıyım ki tanımlar gerekli k değerleri ve fonksiyonun k. Türevinin olması durumunu da kapsar. Daha sağlıklı tanımlar ve ispatlar için herhangi bir genel matematik kitabından yararlanabilirsiniz)
Uzun sözün kısası elimizde her dereceden türevi olan fonksiyonlar varsa onların power seri açılımını bulabiliriz. İşe e^x fonksiyonu ile başlayalım .Bütün dereceden türevleri olmakla birlikte bu türevler kendisine eşittir. Hatta c=0 noktasını seçerek işimizi kolaylaştıralım ve Maclaurin Serisini açalım:
f(x)= e^x = (e^x(0)/n!)(x-0)ⁿ(seri 0'dan sonsuza)
=e⁰+ e⁰x+ (e⁰/2!)x²+(e⁰/3!)x³+...
= 1/0!+(1/1!)x+ (1/2!)x²+(1/3!)x³+...
İşte e^x'in seri açılımı budur.(Şimdiye kadar yazdıklarım karışık geldi ise bu son satırı size verilmiş bir formül gibi algılayabilirsiniz) Bu açılım bize e üzeri kaçı istiyorsanız onu hesaplar. e1 yani e’yi merak ediyoruz; öyleyse x=1 deyip denklemi tekrar yazalım:
e = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + ... 
İşte bu sonsuz açılımı toplayınca e'nin gerçek değerine ulaşacağız.

Tabii ki de bunu toplamak mümkün değil, zaten e transandantal bir sayı olduğu için hiçbir basamağı devretmez sonsuza uzar gider. Ama biz şöyle 22 basamağına ulaşsak işimizi görür diyorsanız size bir yol sunayım
Eğer virgülden sonra n tane doğru ondalık basamak istiyorsanız n+3. basamağa gelince durmalısınız. Yani 22 basamak için 25. Basamağa kadar hesap yapmalıyız.(bu kural hata terimi hesaplama teoreminden doğan pratik bir yöntem). Aşağıda hesaplanmışı var:


1/0! = 1/1 = 1.0000000000000000000000000
1/1! = 1/1 = 1.0000000000000000000000000
1/2! = 1/2 = 0.5000000000000000000000000
1/3! = 1/6 = 0.1666666666666666666666667
1/4! = 1/24 = 0.0416666666666666666666667
1/5! = 1/120 = 0.0083333333333333333333333
1/6! = 1/720 = 0.0013888888888888888888889
1/7! = 1/5040 = 0.0001984126984126984126984
1/8! = 1/40320 = 0.0000248015873015873015873
1/9! = 1/362880 = 0.0000027557319223985890653
1/10! = 1/3628800 = 0.0000002755731922398589065
1/11! = 0.0000000250521083854417188
1/12! = 0.0000000020876756987868099
1/13! = 0.0000000001605904383682161
1/14! = 0.0000000000114707455977297
1/15! = 0.0000000000007647163731820
1/16! = 0.0000000000000477947733239
1/17! = 0.0000000000000028114572543
1/18! = 0.0000000000000001561920697
1/19! = 0.0000000000000000082206352
1/20! = 0.0000000000000000004110318
1/21! = 0.0000000000000000000195729
1/22! = 0.0000000000000000000008897
1/23! = 0.0000000000000000000000387
1/24! = 0.0000000000000000000000016
1/25! = 0.0000000000000000000000001
+ -----------------------------
2.7182818284590452353602875
Virgülden sonra ki 22 basamağı gönül rahatlığı ile kullanın.

Kaynaklar:http://www.biltek.tubitak.gov.tr/merak_ettikleriniz/index.php?kategori_id=13&soru_id=3110

Kısa Bir Bilgilendirme

Bu bilgilendirmede size kısaca bloğumun içeriğini anlatmak istiyorum.Bu blog matematik sevenlerinin toplanma gerek tartışma gerekse matematik alanında yayınları okudukları yer olmak için yapılmıştır.